说好的国庆更新还是来晚了…

事多,没办法

本来说五号更的。不管咋样,还是来了,补上~

前文再续,书接上一回

偶数,整数,实数,有理数这四项哪个多,哪个少?

其实,我们总会不假思索的认为,某样东西的整体一定大于部分。这样的判断在‘有限’的范围内是成立的,一旦涉及‘无限’,这个判断就未必正确了。大家应该都学过“集合”这个概念,那么如何比较两个集合的大小呢?

一般的答案就是:数一下里面各包含了多少元素,就知道谁大谁小了。或者,看看哪个集合是另一个集合的真子集。

第一个方法在有限个的范围内是可行的,但是涉及无限的理论的话就不可行了。因为我们无法数完无限多个元素。

第二个方法,也只有在有限个元素个数时有效。

也就是说,以上的两种说法让我们认为整体一定大于部分。

那么,如何比较两个无限集合的大小呢

判断方法是这样的:尝试在两个集合的每个元素之间建立一一对应关系。

其实也就是映射的概念,观察以下一个集合的每个元素是否能与另一个集合的元素一一对应,或者说映射到另一个集合里去。只要两个集合的元素都有这个关系,那么这两个集合包含同样多的元素,所以两个集合就是等势的。

那么,转头再来看问题:偶数和整数哪个多?

如果把整数集的每个元素乘以2,就能和偶数集的每个元素建立这个一一对应的关系,所以我们说:偶数和整数一样多。

接下来就是:有理数和整数哪个多?

同样是一一对应的,只不过这个的对应会比较麻烦一些,我给大家画了个图,方便大家理解:

0308

有理数就是那些可以表示成两个数的商的数,也就是在整数之外加上分数。我在第一行写的是分母为1的正有理数,1可以省略,第二行则是2为分母,以此类推,这个表格可以无限延伸下去,包括了所有的正有理数:1、2、1/2、1/3、2/2、3、4、3/2、2/3,以此类推,再把所有类似2/2这种与此前出现的数字等值的数去掉。最后就可以将全体有理数按照这种顺序排列。这样就可以为整数集和有理数集建立这种关系了。所以,结论就是:有理数和整数一样多。

同样的,这三个集合和我们没有讨论的自然数集都具有相同多的元素,是等势的,也都是可列的集合。同时,我们也可以说它们拥有相同多基数。(有关基数,请参阅维基百科

接下来就剩下最后一个问题了:这三个集合都与整数集相比哪个集合的元素多?

答案是实数更多。因为全体有理数可以按照顺序排列,但实数不能。为此,康托尔先假设全体实数也能依次排列,继而退推出一个和假设相矛盾的结论,从而证明这个假设是错误的。(具体内容,请参阅维基百科词条

到这里,答案就显而易见了,实数>偶数=整数=有理数

多说两句

前面,我们提到基数这个概念。问题来了,我们已经知道:实数>偶数=整数=有理数,换言之,实数集的基数更大,对于前面三个集合(偶数、整数、有理数)来说,它们的基数是alpha0,那么实数集的基数怎么表示呢?

自然数中,0的后继是1,所以比alpha0更大大的基数应该表示为alpha1。但是,如果整数集和实数集之间存在其他的基数呢?或者换句话说,有没有这样的一些数组成的集合,其包含的元素数量比实数集少却比整数集多?如果这样的集合存在,那么这个集合的基数应该就表示为alpha1。这就是所谓的连续统假设(参见维基百科词条——康托尔认为:不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。但却没法证明它。那么,在此,我再给出一个无法判断的命题:连续统假设是正确的吗?

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